День прошел зря. Жалко потерянного времени.

Вернулся к задаче уклонения от группы инерционных объектов. До этого я дифференциальные игры, в которых движение участников описывается дифференциальными уравнениями порядка выше первого не рассматривал (пример Понтрягина, конечно, не в счет). Мысль об этой задаче пришла мне в голову летом, осенью пытался что-то получить, но нахрапом не получилось.

Постановка задачи: в конусе евклидового пространства R^n рассматривается игра m+1 лица: m преследователей и одного убегающего. Законы движения имеют вид x''=ax'+u, либо x''=ax+u. Хотелось бы доказать, что если m<n, в игре произойдет уклонение из любых начальных позиций.

Предыстория задачи: для случая простого движения и фазовых ограничений в виде шара возможность уклонения доказали очень давно (задача «человек и лев»: таким образом на плоскости в круге один всегда убегает от одного, в трехмерном пространстве в шаре всегда убежит от двух преследователей и т.д. Причем траектория уклонения довольно проста: управление выбирается ортогонально гиперплоскости, содержащей начальные положения всех преследователей, через определенный промежуток времени управление перестраивается и т.д. Промежутки выбираются таким образом, чтоб убегающий всегда оставался внутри шара. Примерно тогда же Черноусько придумал стратегию уклонения от многих преследователей убегающего, имеющего преимущество в скорости (задачу он назвал «олень и стая волков»): управление тоже кусочное, но более сложное.

Ближе к нашим дням: в 2006-2008 были результаты Чирковой (рассматривавшей динамику x''=u и доказавшей уклонение при таких предположениях: оказалось что можно перенести результаты Черноусько на случай второй производной: ограничение на нее означает ограничение на ускорение, то есть ограничения на скорость нет и убегающий может получить в этом плане преимущество) и Шуравиной (доказавшей убегание при законе движения x=ax+u: суть ее выкладок состоит в том, что коэффициент а не влияет не результат игры: стратегия уклонения напоминает уклонение как в задаче «человек и лев»)

И у той, и у другой доказательства получилось на 5 листов — довольно много. Есть предположение, что результат останется верным и для той динамики, которую я написал наверху. Идея доказательства: использовать траекторию уклонения Черноусько и идею, которой пользовались мои предшественники для доказательства, что а вносит незначительные изменения (выглядело все довольно странными и громоздкими интегральными неравенствами).

Планирую решить эту задачу за отведенные 100 дней. Сегодня нашел общие решения соответствующих диффуров и начал строить управления. К доказательству еще не приступал.

Отдельно нужно показывать, что реализуемая траектория является траекторией уклонения и что она не покидает пределы конуса.